WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op zaterdag 8 augustus 2020

Re: Aantrekker en aantrekkingsgebied bewijzen

het gaat over complexe getallen. het inleidende verhaaltje er bij is; in het hoofdstuk over itereren hebben we gezien dat de functie f(x)=x2-0,5 als aantrekker heeft het punt x=-0,366. alle startwaarden tussen -1,366 en 1,366 worden bij het itereren naar deze aantrekker toe getrokker. het interval -1,366;1,366 wordt ook wel het aantrekkingsgebied genoemd, het is de verzameling van alle startwaarden die naar de aantrekker worden toegetrokken. aan het eind van dat hoofdstuk hebben we gezien dat je ook met complexe getallen kunt itereren. ook in het complexe vlak kunnen we dus spreken over aantrekkers en aantrekkinggebieden. het aantrekkingsgebied is in dit geval een deel van het complexe vlak.
en dan is de vraag:Gegeven is de functie: F(z)=z2. bewijs dat in dit geval z=0 de aantrekker is en het aantrekkingsgebied de cirkelschijf is die wordt beschreven door |z|1. hoe moet je dit bewijzen?

sieg
29-5-2007

Antwoord

Met andere woorden, te bewijzen: definieer z0=z en telkens zn+1=F(zn) dan geldt lim zn=0 als |z|1 en de limiet is niet 0 als |z|1. Toon eerst eens aan dat zn=z2n -- z-tot-de-macht(2-tot-de-macht-n). Dan is het niet moeilijk de eerste limiet te bepalen; voor het geval |z|1: de modulus van zn is altijd ten minste 1.

kphart
31-5-2007


© 2001-2020 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#51031 - Complexegetallen - Leerling bovenbouw havo-vwo