WisFaq!

Eigenwaarden

Goeieavond,

Ik ben aan het zoeken op de volgende vraag:
"Als A een complexe 2x2 matrix is met twee verschillende eigenwaarden, hoeveel complexe matrices B bestaan er dan zo dat B² = A ?"
Ik heb al geprobeerd met
B = a b
c d
en dan dacht ik van misschien iets te vinden door
det(l*I-B²)=0 uit te werken en zo iets te doen met de 2 vergelijkingen die ik dan vindt, maar dit is waarschijnlijk geen goeie methode...
weten jullie hoe ik dit zou kunnen oplossen?
Bedankt

mvg Pieter Snoeck

Pieter Snoeck
23-4-2007

Antwoord

Beste Pieter,

Als je toch al complex werkt kun je zonder al te veel moeite zien dat B ook twee verschillende eigenwaardes heeft, en wel de wortels van de eigenwaardes van A. Let wel: Voor elk van de eigenwaardes zijn twee mogelijkheden. De eigenvectoren zijn hetzelfde als die van A. Bekijk je alles in de basis die A diagonaliseert, dan B dus ook een diagonale matrix met op die diagonaal de wortels van de diagonale elementen van A.

Ik weet niet of dit antwoord helemaal bevredigend is... Voor mij geeft dit meestal de beste manier om het gedrag van B te beschrijven. Maar de exacte matrices zie je niet meteen voor je. Je kunt natuurlijk ook proberen die te vinden.
A =
(a b)
(g d)

B =
(a b)
(c d)

B² =
(a b)(a b)
(c d)(c d) =
(a²+bc b(a+d))
(c(a+d) bc+d²)

En dan gelijk stellen. Maar dan wordt het toch wel ingewikkeld. Je vind wel: a-d = a² - d²
en b/c = b/g. Maar zonder geschikte basistransformatie vindt ik het dan niet zo leuk meer.

Als je A diagonaal neemt: b = g = 0. Je ziet dat a+d=0 niet kan. Dus: b = c = 0 en dus a = ±Öa
en d = ±Öd

Als A complex is, is B gewoon een complexe matrix. Als A reeel is met twee positieve eigenwaarden is B gelijk aan A^0.5 eventueel gecombineerd met een spiegeling in de x-as, y-as of de oorsprong. Als één van de twee eigenwaarden negatief is, komt er een rotatie bij.

Het geval dat de twee eigenwaarden van A gelijk zijn levert meer op. Dan krijg kan a+d=0 wel en vind je extra oplossingen met: a²+bc=a. Dat is een combinatie van een spiegeling, een rotatie en nog iets.

Is één van de twee wat je zoekt? Groet. Oscar.

os
24-4-2007