WisFaq!

Uitwerken zonder haakjes

Hallo,
Voor een PO moeten wij een aantal complexe getallen zonder haakjes uitwerken. We weten inmiddels dat (cos φ + i sin φ)n = cos nφ + i sin nφ
Er wordt dan op een gegeven moment gevraagd: (¹/₂Ö3-¹/₂i)(¹/₂Ö2-¹/₂Ö2i)²
en (-i)/(¹/₂Ö3+¹/₂i) uit te werken zonder haakjes. Waarbij we een tekening moeten maken. Ik loop hier vast omdat ik niet weet hoe ik hier aan moet beginnen. Ik hoop dat ik hiermee geholpen kan worden.

Anouk
15-4-2007

Antwoord

Hoi Anouk,

Nog iets algemener: (cosj+isinj)(cosq+isinq)=cos(j)+isin(j)
Zie je dat jouw formule hier uit volgt?

Voor je berekenng moet je dus een j zien te vinden zdd cosj=¹/₂å3 en sinj=¹/₂. Dat kan gelukkig omdat (¹/₂å3)²+(¹/₂)²=1. En dan ook nog een q zdd cosq=¹/₂Ö2 en sinq=-¹/₂Ö2. En dan kun je aan de slag. Je hebt het bovenstaande wel twee keer nodig. Ook de tweede opgave is zo te doen.

Het tweede deel heeft te maken met de betekenis van de notatie: cosj+isinj. Dit betekent dat je een complex getal kunt tekenen als een punt op een 2-dimensionaal vlak. De x-coordinaat is het reële deel van je getal en de y-coordinaat het imaginaire deel. Omdat de getallen waar jij mee werkt met cosj+isinj worden opgeschreven liggens ze in dat 2-dimensionale vlak blijkbaar op de eenheidscirkel. En j is de hoek met de x-as.

De formule betekent nu ook iets moois. Blijkbaar geldt dat als je twee complexe getallen vermenigvuldigd je de hoeken die je in het complexe vlak getekend hebt gewoon kunt optellen. Dus ligt het eerste hoek op de eenheidscirkel op een hoe van 25° met de x-as en het tweede getal op een hoek van 40° met de x-as. Dan ligt het product van de twee getallen ook op de eenheidscirkel maar op een hoek van 65°. Etc. (deze getalen zijn natuurlijk niet het antwoord op jouw vraag). Die hoek is overigens zo belangrijk dat hij een naam heeft. Die hoek die een complex getal getekend op een 2-dimensionaal vlak maakt met de x-as noem je het argument van dat getal.

Nou. Ik hoop dat het hiermee gaat.

Er is overigens een derde manier. Waarop je ook kunt zien dat dat allemaal klopt. Je kunt namelijk gewoon de haakjes wegwerken net zoals je dat met reële getallen doet. Je krijgt dan ook termen met i² erin maar daar gebruik je i²=-1. Dit is de eigenlijke manier waarop je getallen in het complexe getal verminigvuldigt (of wist je dat al). De bovenstaande (zeer nuttige) formule is daarvan afgeleid. In ieder geval zou ik het zo ook eens even narekenen om te controleren of je antwoord klopt.

Groet. Oscar

os
15-4-2007