WisFaq!

Limiet van een som en limiet van een produkt

Beste,

Ik weet dat de limiet van een som en de limiet van een product resp. gelijk is aan de som van de limieten en produkt van de limieten (als en slechts als de limiet bestaat en een element is van )

Is het mogelijk dat u mij het bewijs (voor beiden)levert a.u.b?

Dank bij voorbaat.

Jan

Jan
30-1-2007

Antwoord

Het lijkt me onwaarschijnlijk dat er in je boek of syllabus geen bewijs van deze twee stellingen staat. Ze behoren tot het allereerste begin van elke opleiding in de analyse.
Laten we de produktstelling maar nemen; de optelstelling is te flauw voor woorden. Het kan overigens over getalrijen of over functies gaan. Verschil is er eigenlijk niet, maar in je vraag ben je er niet duidelijk over.
Dan nu een bewijs:
Stel a_n®a en b_n®b
Schrijf nu |ab - a_nb_n| = |b|.|a - a_n| + |a_n|.|b - b_n|.
Omdat het (absolute) verschil van a en a_n en ook van b en b_n onbeperkt klein gemaakt kan worden en omdat |a_n| A is (waarbij A een getal voorstelt dat niet van n afhangt; deze afbakening volgt uit het feit dat uit de convergentie van de rij a_n volgt dat de rij begrensd is), is nu te zien dat |ab - a_nb_n| onbeperkt klein kan worden, ofwel het produkt a_nb_n heeft als limiet ab.

Het kan overigens best mooier opgeschreven worden, met e en d verhalen, maar hopelijk is de strekking duidelijk.

MBL

MBL
30-1-2007