WisFaq!

Convergentiegebied

Ik zit met de volgende opgave. Bepaal het convergentiegebied van de volgende complexe reeksen:

1a. som_{n=2 tot oneindig} ((-1)ⁿ/log(n))·z^(3·n-1)
1b. som_{n=1 tot oneindig} z^(n²)

Bij de eerste dacht ik het quotientcriterium te kunnen toepassen, waarmee ik vind dat de convergentiestraal R=1 en dat de reeks dus convergent is als |z³| $<$ 1 en divergent als |z³| $>$ 1. Nu moet ik zeker nog de rand nagaan, dat is |z³| = 1. Hoe kan ik in dat geval bepalen of de reeks convergent is of niet?

Bij de tweede weet ik niet goed hoe te beginnen door het kwadraat. Kunt u mij helpen?

Groet, Theodor

theodor
11-1-2007

Antwoord

1. Je straal klopt inderdaad; randonderzoek is altijd lastiger omdat je daar vaak alleen relatieve convergentie hebt en daar hebben we veel minder criteria voor dan voor absolute convergentie. In dit geval kun je met behulp van de volgende stelling (Dirichlet's test): gegeven twee rijen (a_n) en (b_n) met de volgende eigenschappen:
- de partiele sommen van de reeks som(a_n) vormen een begrensde rij
- de getallen b_n vormen een dalende rij positieve getallen die naar 0 convergeert
Dan is de reeks sum(a_nb_n) convergent.
In jouw geval neem je b_n=1/ln(n) en a_n=(-z³)ⁿ/z.
Voor de drie getallen z waarvoor z³=-1 is a_n gelijk aan 1/z en is de oorspronkelijke reeks divergent; in alle andere gevallen kun je met de somformule voor meetkun dige rijtjes laten zien dat de partiele sommen van de a_n in modulus kleiner zijn dat 2/|1+z³| en dus een begrensde rij vormen. Op de rand heb je dus relatieve convergentie voor alle z behalve de drie oplossingen van z³=-1.
2. Gebruik het wortelkenmerk: de n-demachtswortel van de modulus van n-de term is |z|ⁿ en daarvan kun je zo de limiet uitrekenen.

Zie Wikipedia: Dirichlet's test [http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_test]

kphart
12-1-2007