WisFaq!

Berekenen van sinē(x) met partiele integratie

Ik heb van alles geprobeerd om $\int{}$sin²(x) te bepalen maar ik kom er niet uit. Ik loop zo vast, kunnen jullie mij vertellen wat ik fout doe.

$\int{}$(sin²(x))
= $\int{}$sin(x).sin(x)dx -- sin(x) achter d brengen
= $\int{}$sin(x)d(-cos(x))-- dan de rekenregels toepassen
= -sin(x).cos(x) + $\int{}$cos(x).cos(x)dx -- zelfde nog een keer doen achter integraal teken dan kom ik op.
= -sin(x).cos(x) + cos(x).sin(x) + $\int{}$sin(x).sin(x)dx
oftewel 2.$\int{}$sin²(x) = -sin(x).cos(x) + cos(x).sin(x)
oftewel 2.$\int{}$sin²(x) = 0 ?

Hier ga ik al ergens fout, kunnen jullie mij helpen.

Danny Derks
18-12-2006

Antwoord

Partiele integratie leidt niet altijd tot het gewenste resultaat.
Voor $\int{}$sin²x dx en $\int{}$cos²x dx kun je beter gebruik maken van de dubbele hoek formules voor cos(2x):
cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)
cos(2x)=2cos²(x)-1
cos(2x)=1-2sin²(x)

Uit de laatste formule volgt 2sin²(x)=1-cos(2x),
dus sin²(x)=¹/₂-¹/₂cos(2x)
$\int{}$sin²(x)dx=$\int{}$(¹/₂-¹/₂cos(2x))dx=¹/₂x-¹/₄sin(2x)

hk
18-12-2006