WisFaq!

Differentiaalvorm met `gaten`

Beste allemaal,

Kunt U mij helpen met onderstaande vraag:

"Als w een differentiaalvorm is op een verzameling met een of meer 'gaten', dan kan het gebeuren dat w niet exact is terwijl wél aan de voorwaarde ¶p/¶y=¶q/¶x voldaan is.
Laat zien dat w=y/(x²+y²)dx - x/(x²+y²)dy aan deze voorwaarde voldoet, maar niet aan de eigenschap dat de integraal van w over een gesloten kromme altijd gelijk aan 0 is. Integreer maar over de cirkel x²+y²=1. Verklaring: de functies die w definiëren zijn netjes op {(x,y)β en (x,y)¹(0,0)}, een verzameling met gat (de oorsprong)."
Bedankt voor de hulp!

Saar
26-11-2006

Antwoord

Ik denk dat de vraag zichzelf al heel behoorlijk uitlegt: er zijn op het vlak-minus-de-oorprong niet-exacte differentialvormen pdx+qdy die wel aan de eis op de partiële afgeleiden voldoet.
Het voorbeeld staat er al; je hoeft alleen nog maar y/(x²+y²) naar y en -x/(x²+y²) naar x te differentiëren (en zien dat de antwoorden gelijk zijn). Verder moet je die vorm over de eenheidscirkel integreren (en zien dat er geen nul uit komt).

kphart
9-12-2006