WisFaq!

Waarheidstabellen

q$\to$niet p $\Leftrightarrow$ niet p$\wedge$q hoe maak ik daar een waarheidstabel van en is het een tautologie, een contradictie of een contingentie

Joyce van der Steen
20-11-2006

Antwoord

Ik veronderstel dat je uitspraak is : q$\to$(niet p) Ik veronderstel dat je uitspraak is : q$\to$(niet p) $\Leftrightarrow$ niet(p$\wedge$q)
((niet p) noteer ik als p', (niet q) = q') , dus
q$\to$p' $\Leftrightarrow$ (p$\wedge$q)'

q$\to$(p') is een implicatie.
Deze is waar(1)
1. als q waar(1) is en ook p' waar(1)
2. als q niet waar(0) is (want dan wordt er p' niets beweerd).
Ze is dus niet waar(0) als q waar(1) is en p' niet waar(0) is.

De waardetabel is dus:


Deze waardetabel kan ook geschreven worden als (let op de tweede kolom):


Je ziet dan dat de implicatie niet waar(0) is, als q en p beide waar(1) zijn
of
dat de implicatie waar(1) is als het niet zo is dat q en p beide waar zijn, dus (p$\wedge$q)' = niet(q$\wedge$p)

q$\to$(p') is dus identiek aan (p$\wedge$q)'

q$\to$(niet p) $\Leftrightarrow$ niet(p$\wedge$q) is dus een tautologie want ze is steeds waar.

Door uit de waardetabel de disjunctief normale vorm (DNV)af te leiden en deze met behulp van de eigenschappen van de Algebra van Boole te bewerken, kun je dit ook exact bewijzen.
DNV is :
(q'$\wedge$p) $\vee$ (q'$\wedge$p') $\vee$ (q$\wedge$p') =
q'$\wedge$(p$\vee$p') $\vee$ (q$\wedge$p') =
q' $\vee$ (q$\wedge$p') =
q' $\vee$ p' =
(q$\wedge$p)' (wet van De Morgan) niet(p$\wedge$q)
((niet p) noteer ik als p', (niet q) = q') , dus
q$\to$p' $\Leftrightarrow$ (p$\wedge$q)'

LL
22-11-2006