WisFaq!

Taylorexpansie toepassen op vergelijking

Ik moet een Taylor-expansie uitvoeren op de volgende vergelijking rond a=aeq:

(A - B/d(a)³)·sin(a) = 0

Waarin A en B constantes en d is een functie van a.

Moet ik nu d(a)^-3 expanderen en sin(a)? Maar dan krijg ik een breuk van een Taylorreeks in de noemer en een Taylor reeks in de teller.
Of kan ik beter de haakjes weglaten en de formule opschrijven als:

A·sin(a)- B/d(a)³·sin(a) = 0

en dan dus sin(phi) expanderen en dan de functie sin(a)·d(a)^-3.
Mijn vraag is dan ook of dit ook mag?

Alex
12-11-2006

Antwoord

je hebt dus een functie f(a)=(A - B/d³(a)).sin(a)
en die wil je 'Tayloren' rond a=a₀

Hier staat de algemene formule:
http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html

voor jouw formule f(a) geldt dus een Taylorbenadering
f(a)= f(a₀) + (a-a₀).f'(a₀) + (a-a₀)².f"(a₀)/2! + ...

Je moet dus, uitgaande van je originele formule, f'(a) en f"(a) etc. uitrekenen, en daar vervolgens de waarde van a₀ invullen.
Dit levert je de coëfficiënten f(a₀), f'(a₀), f"(a₀), etc die benodigd zijn voor de Taylorexpansie

De eerste coëfficiënt is gewoon f(a₀);

De tweede coëfficiënt:
in jouw geval is
f'(a)= (3B/d⁴(a)).d'(a).sin(a) + (A - B/d³(a)).cos(a)
hierin vul je a₀ en je hebt de tweede coëfficiënt.
Enz...groeten,
martijn

Klein naschrift: Bij nader inzien had ik je vraag beter anders kunnen beantwoorden: Voorkom vooral dat je een Taylorreeks in de noemer krijgt want dat ziet er niet leuk meer uit.
Wel mag je de functie splitsen in bijv. het produkt danwel de som van 2 (deel)functies. En vervolgens de twee (deel)Taylorreeksen met elkaar vermenigvuldigen cq bij mekaar optellen.
Waarschijnlijk is dìt wat je eigenlijk weten wilde ;-)

mg
14-11-2006