WisFaq!

De tangens primitiveren

Hallo, bij deze een korte en kleine vraag, waar ik echt niet uitkom...

De primitieve van de $\int{}$ tan(x)... In het antwoordenboek én volgens de docente is het antwoord hierop: [-ln |cos(x)|]

Ik heb de docente hier verder niet meer over kunnen bereiken...

Dit heb ik er zelf nog van kunnen maken:
$\int{\tan(x)}dx$
[^cos(x)/_sin(x)]

Terwijl als je het goede eindantwoord differentieert je dit krijgt:
[-ln |cos(x)|]
-¹/_|cos(x)|

Ook met behulp van de formulekaart heb ik niets kunnen vinden. die sin(x) veranderd gewoon naar -1, en ik heb geen flauw idee waarom. ook weet ik niet waarom die absoluutstrepen rond de cos(x) daar moeten staan...

Alvast bedankt...

Carel
15-10-2006

Antwoord

Als je -ln(cos(x)) differentieert krijg je volgens mij dit:

$\eqalign{
\left[ { - \ln (\cos (x))} \right]^| = - \frac{1}
{{\cos (x)}} \cdot - \sin (x) = \frac{{\sin (x)}}
{{\cos (x)}} = \tan (x)
}$

De kettingregel, weet je nog?

De absoluutstrepen in -ln(|cos(x)|) staan er omdat ln(x) alleen gedefinieerd is voor x$>$0. Hopelijk helpt dat.

De truuk voor de primitieve van tan(x)=sin(x)/cos(x) is 'zien' dat een primitieve voor 1/x gelijk is aan ln(x), dus ln(cos(x)) een primitieve zou kunnen zijn omdat dat die sin(x) in de teller dan precies de afgeleide is van cos(x).

Zie 2. Substitutiemethode

WvR
15-10-2006