WisFaq!

Bij gauss-eliminatie rijen vegen

ik heb alle oefeningen zonder probleem opgelost. Nu stonden er nog enkele denkvragen bij waaronder de volgende:

• we hebben gewerkt met het optellen van veelvouden van vergelijkingen binnen het stelsel, hieruit concluderen we dat elke oplossing van het oorspronkelijke stelsel een oplossing is van het diagonale stelsel waarme we eindigen...

Ik kan niet verklaren waarom deze methode correct is..
alvast bedankt voor de hulp

Kristel
2-10-2006

Antwoord

Beste Kristel,

Los van de matrix-vorm waarin we de Gauss-eliminatie uitvoeren, weet je dat elke regel overeenstemt met een (lineaire) vergelijking uit het stelsel. Neem als voorbeeld:

| 2x+2y = 1
| 3x-y = 2

We zouden nu twee keer de laatste vergelijking bij de eerste kunnen optellen om y daaruit te elimineren, de vraag is nu waarom dat mag. In twee stappen: het vermenigvuldigen van de laatste vergelijking met een factor 2 is geen probleem. Als 3x-y gelijk moet zijn aan 2, dan 2(3x-y) gelijk aan 4 natuurlijk:

| 2x+2y = 1
| 6x-2y = 4

Stel ik herschrijf de laatste vergelijking even als 6x-2y-4 = 0. Nu tel ik deze op bij vergelijking 1:

2x+2y + (6x-2y-4) = 1

Het stuk in het vet hebben we nu toegevoegd, maar uit de laatste vergelijking weten we dat dit gelijk is aan 0, dus eigenlijk hebben we 'niets' toegevoegd. Je kan dan vereenvoudigen:

2x+2y+6x-2y-4 = 1 Û 8x = 5 Û x = 5/8.

De reden waarom je dus een (veelvoud van een) vergelijking bij de andere mag optellen, is omdat de onbekenden precies aan al die vergelijkingen moeten voldoen. Je voert dus geen bijkomende voorwaarden in, het stelsel blijft gelijkwaardig.

mvg,
Tom

td
2-10-2006