WisFaq!

Re: Hoe los je deze integraal op?

Zou u het erg vinden om nog eens te antwoorden op volgende vraag?

In de cursus staat er: int (sin³xdx) = int( sin²x sinx dx)= - int ( sin²x d(cosx)).

Deze laatste stap versta ik niet. Ik heb volgens mij in het secundair ook zo'n integralen opgelost maar nooit zo een manier of notatie gebruikt. In de laatste stap stelt men sin x gelijk aan de min afgeleide van cos x. Wat is daar dan de betekenis nu van. Wat gebeurt er met de dx? Moet je nu afleiden naar cos x i.p.v x. Die cos x kan je dan als het ware door een parameter t samen met alle andere cosinus in de vergelijkingen en deze nadien terug invullen?

Het gaat verder: - int ((1-cos²x)d(cosx))= -cosx+(cos³x/3)=C

Kan u dit even een beetje verduidelijken? Ik begrijp het ongeveer maar kan het niet zijn dat ik dit in het middelbaar op een andere manier heb gezien? Alvast dank

Pieter
10-9-2006

Antwoord

De gebruikte methode is substitutie: als je stelt u = cos x, dan heb je dat du = - sinx dx. Die substitutie is handig omdat je al een factor sinx dx hebt herkend.

Natuurlijk moet je dan alles in functie van u zetten. Dat lukt hier vlot, omdat sin²x=1-cos²x. Dus zo krijg je -ò(1-u²)du
= -u+u³/3+C

En dan nog even de substitutie hierinneren: u=cosx, dus de oplossing wordt dan
-cosx+cos³x/3+C

En eens je die truc een aantal keer hebt toegepast, zal je niet meer de moeite nemen om een nieuwe variabele u in te voeren, en dan krijg je dus een oplossingsmethode zoals je hierboven hebt beschreven.

Groeten,
Christophe.

Christophe
12-9-2006