WisFaq!

Een limiet met worteltekens oplossen

hallo, ik ben namelijk op zoek hoe ik deze limiet kan oplossen.

((√x)-8)/((³√x)-4)

de limiet gaat van x naar 64
Je komt 0/0 uit, maar ik weet dan niet hoe het verder moet.

Rep
11-8-2006

Antwoord

Je komt inderdaad 0/0 uit omdat 64 een nulpunt is van zowel teller als noemer. Alleen zie je dat niet duidelijk, omdat er geen factor (x-64) instaat die je zou kunnen wegdelen. Dat komt dan weer omdat je die uitdrukkingen met wortels hebt. De oplossing hiervoor is dan dat je die factoren met wortels gaat aanvullen, zodat je veeltermen in x krijgt.

Dat aanvullen kan je als volgt doen: in de teller staat iets van de vorm a-b. Die a is √x, dus je hebt a² nodig om die wortel te verliezen. Denk dan aan a²-b²=(a-b)(a+b). Dus als je de teller vermenigvuldigt met √x +8 (en de noemer ook natuurlijk, je mag de opgave immers niet veranderen), dan krijg je als teller x-64.

In de noemer heb je een ³√x -4 staan, dus een vorm a-b waarbij je naar iets met a³ (=x) zou willen gaan om de wortels weg te werken. Dus ga je denken aan a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²), m.a.w. je moet teller en noemer vermenigvuldigen met ³√x² +4³√x + 16.

Dus je krijgt:
lim (√x -8)/(³√x -4)
= lim (√x -8)(√x +8)/((³√x -4)(√x +8)
= lim (x-64)/((³√x -4)(√x +8))
= lim (x-64)(³√x²+4³√x+16)/((³√x -4)(³√x²+4³√x+16)(√x +8))
= lim (x-64)(³√x²+4³√x+16)/((x-64)(√x +8))
= lim (³√x²+4³√x+16)/(√x +8)
= (³√64²+4³√64+16)/(√64 +8)
= (16+16+16)/(8+8)
= 3

Groeten,
Christophe.

Christophe
11-8-2006