WisFaq!

Enkele integralen

Hoi Wis Faq,
Ik ben bezig herhalingsoefeningen te maken op integralen... dat lukt aardig op enkele na.. zouden jullie mij willen helpen?

$\int{}$(cos(x)³.√(1-cos(x)²)dx
deze is mij eigenlijk wel gelukt maar het boek geeft een ander e oplossing...
= $\int{}$(cos(x)³.sin(x))dx
=$\int{}$((1-u²).u)du u=sinx(x) du=cos(x)
=-cos(x)²/2 + cos(x)⁴/4 + C

het boek zegt echter: ±(cos(x)⁴/4) doe ik iets fout?

zelfde verhaal voor de 2de integraal
$\int{}$(ln(1-√(x)))dx
=x.ln(1-√(x))+$\int{}$(x/(2√(x)(1-√(x))))dx
P.I.: u = ln(1-√(x)) en dv = dx
=x.ln(1-√(x))+¹/₂$\int{}$(√(x)/(1-√(x)))dx
sub: u = √(x)
=x.ln(1-√(x))+¹/₄ln(1-√(x)) + C

ik heb mijn oplossing met Derive al herrekend om te zien of het toch niet gelijk zou zijn maar helaas...
hopelijk kunnen jullie me verder helpen
alvast bedankt
het boek zegt: =x.ln(1-√(x))-ln(1-√(x))+¹/₂(1-√x)(3+√x)+C

Bassie
19-3-2006

Antwoord

Beste Bassie,

Jij neemt u = sin(x) maar substitueert opeens wel cos(x) na integratie van u. Makkelijker is om vanaf $\int{}$cos³x.sinx dx als substitutie u = cos(x), du = -sin(x) dx te nemen. Je krijgt dan $\int{}$-u³du, uitwerken levert de opgegeven oplossing.

Voor de tweede zou ik direct beginnen met een substitutie:
stel y = 1-√x $\Leftrightarrow$ x = (1-y)² $\Leftrightarrow$ dx = 2(y-1) dy
$\Rightarrow$ $\int{}$2(y-1)ln(y) dy

Dit kan je uitwerken en om y.ln(y) te integreren kan je partiële integratie toepassen.

Je moet ook niet schrikken als jouw opgave qua vorm niet overeenkomt met de opgegeven oplossing. Een goede manier om na te gaan of je juist zit is je resultaat terug afleiden en kijken of je je integrand terugvindt.

mvg,
Tom

td
19-3-2006