WisFaq!

Het bewijzen van een gelijkheid

hallo iedereen! ik heb een probleempje met het oplossen van een oefening! dit is de oefening:
1 - sin²alfa/ 1 + cotalfa ( dit is dan de breuk ) - cos²alfa/ 1 + tan alfa = sinafla .cosalfa !
ik heb eerst de tan alfa en de cot alfa omgezet in cos over sin en sin over cos ...maar wat moet ik daarna doen?
ik heb al vanalles geprobeerd! vele groetjes,
overlord

Overlord
24-9-2002

Antwoord

Hoi,

Je wil bewijzen dat
1-sin²a/(1+cotga)-cos²a/(1+tga) = sina.cosa.
Nemen we c=cosa en s=sina:
1-s²/(1+c/s)-c²/(1+s/c)=
1-s³/(s+c)-c³/(c+s)=
1-(s³/(s+c)+c³)/(s+c)=
1-(s²-sc+c²)=
1-(1-sc)=
sc

qed.

Naast de definitie van tga en cotga, gebruiken we dus het merkwaardig product (a³+b³)/(a+b)=a²-ab+b² en de basiseigenschap van de goniometrie: sin²a+cos²a=1.

Groetjes,
Johan

(PS: a en b hebben geen speciale 'goniometrische' betekenis..., mocht dit voor verwarring zorgen; die c en s gebruikte ik enkel om minder tikwerk te hebben - wiskundig even correct natuurlijk)

andros
24-9-2002