WisFaq!

Matrices bewijs dmv eigenschappen

Gegeven is een 3x3 matrix A over met
A=
1 0 0
a 1 0
b a 1

a) Toon aan dat voor alle n element van zonder 0 :
de matrix Aⁿ=
1 0 0
a_n 1 0
b_n a_n 1

b) Bepaal de expliciete uitdrukking van a_nen b_nin functie van a,b en n.

Ik hoop dat ik dit een beetje duidelijk getypt heb. Maar ik weet bij beide vraagjes niet hoe te starten. Kunnen jullie me aub wat helpen?

splash
2-3-2006

Antwoord

Leuk probleem!
Je kunt eerst eens wat experimenteren.
Kijk eens wat er gebeurt als je een matrix van deze vorm (dus met die nullen in de rechterbovendriehoek) gaat kwadrateren.
Zie je dan dat die kwadraatmatrix ook die nullen rechtsboven krijgt?
Kun je dat aantonen?
Vervolgens kun je dat gaan generaliseren voor hogere machten.
Behalve die nullen heeft de matrix nog iets speciaals, namelijk: niet alleen symmetrisch in de hoofddiagonaal, maar ook in de nevendiagonaal.
Kun je aantonen dat ook deze eigenschap behouden blijft bij het machtsverheffen?
Kun je tenslotte aantonen dat de enen op de hoofddiagonaal intact blijven bij het machtsverheffen?
Daarmee heb je het antwoord op vraag a)
Om het antwoord op vraag b) te vinden kun je op een idee komen door een aantal machten te berekenen, en te zien hoe de getallen in de linkeronderdriehoek ontstaan uit a en b. Probeer hiervoor een formule te bedenken, en bewijs de juistheid van die formule, bijvoorbeeld met volledige inductie.
Ik hoop dat je zo een stukje op weg geholpen bent.
Succes,

Anneke
3-3-2006