WisFaq!

Equivalentierelaties

R=((a,a),(b,b),(c,c)(d,d)(e,e),(a,e),(e,a),(b,c),(c,b)) is een equivalentierelatie in V=(a,b,c,d,e) Geef alle equivalentieklassen.
De bijbehorende definitie is: Als R een equivalentierelatie is en aÎV, is de equivalentieklasse van a de verzameling van alle elementen die equivalent zijn met a.
Wordt het dan [a]=[a] [b ]=[b ] etc en [a,a]=[b,b]=[c,c] etc. Ik kan er werkelijk niets bij voorstelllen. Kunnen jullie mij wat uitleg over dit onderwerp geven. Ik heb alle definities wel, maar ik mis voorbeelden..

iris
20-2-2006

Antwoord

Vermits (a,e) (en dus ook (e,a)) in de equivalentierelatie R zitten, betekent dit dat a en e equivalent zijn. Dus [a] = [e] = {a,e}. Bijvoorbeeld b zit niet in deze equivalentieklasse, want a en b zijn niet equivalent, en dat zie je dan weer aan het feit dat het koppel (a,b) niet in je verzameling R zit. Een andere klasse is hier [b ] = [c] = {b,c}, de derde klasse bestaat uit slechts één element, namelijk [d] = {d}.

De notatie met de vierkante haken vind je blijkbaar moeilijk, want dingen als [a,a] hebben weinig betekenis... Met [a] wordt bedoeld: de verzameling van alle elementen die equivalent zijn aan a. Men noemt a dan de representant of vertegenwoordiger van die klasse, juist omdat je een hele klasse kan voorstellen door enkel dat ene element.

De koppels uit die verzameling R duiden dus telkens aan welke elementen er onderling equivalent zijn. Aangezien een element altijd equivalent is met zichzelf, zal je daar altijd de identieke koppels zoals (a,a) in zien voorkomen.

Als je een voorbeeld wil: bekijk eens de verzameling V bestaande uit de elementen 1, 2, 3, 4 en 5. En bekijk de equivalentierelatie R, die zegt dat twee getallen equivalent zijn wanneer ze dezelfde rest hebben bij deling door 3. Dan zijn volgende koppels van getallen equivalent:
(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,4),(4,1),(2,5),(5,2).
Dus je hebt drie equivalentieklassen, namelijk de klasse [1] bestaande uit de elementen 1 en 4; de klasse [2] bestaande uit de elementen 2 en 5, en de klasse [3] bestaande uit het element 3.

Zulke equivalentieklassen kunnen ook oneindig veel elementen bevatten: bekijk immers eens dezelfde equivalentierelatie (dus nog altijd met die rest bij deling door 3), maar nu op de volledige verzameling van natuurlijke getallen. Dan heb je dat de getallen 1, 4, 7, 10, 13,... allemaal onderling equivalent zijn, en dus in één klasse zitten, die je kan weergeven door [1] of door [4] of...
[2] en [3] zijn dan de twee andere klassen, die elk oneindig veel elementen bevatten.

Dit voorbeeld, met resten bij deling door een getal, het zogenaamde modulorekenen, is een klassiek voorbeeld. Andere voorbeelden van equivalentierelaties zijn:
- Noem twee vectoren equivalent als ze dezelfde richting hebben (dus evenwijdig zijn). Resultaat: oneindig veel equivalentieklassen met telkens oneindig veel elementen.
- Noem twee driehoeken in het vlak equivalent als ze gelijkvormig zijn. Resultaat: oneindig veel equivalentieklassen met telkens oneindig veel elementen. Eén van de klassen is de verzameling van gelijkzijdige driehoeken.
- Noem twee speelkaarten uit een spel van 52 equivalent als ze dezelfde kleur hebben. Resultaat: 4 equivalentieklassen met elk 13 elementen.
- Enzovoort...

Christophe
20-2-2006