WisFaq!

Functie afhankelijk van afgeleide waarom een e macht

Dag ik ben opzoek naar het bewijs waarom een functie die afhankelijk is van de afgeleide hiervan altijd een e macht is? Bijvoorbeeld de volgende vergelijking.

Ic= C· dUc/dt
Uc=1/C· de intergraal Ic·dt

Uitgewerkt zal Uc(t) dus een e macht worden, waarom is dit zo?

j klaassens
14-2-2006

Antwoord

Ten eerste: als ``de afgeleide afhankelijk is van de functie zelf'' dan hoeft de functie niet noodzakelijk een e-macht te zijn; dat geldt alleen maar als de afgeleide op een speciale manier afhangt van de functie zelf. Bijvoorbeeld als ik eis dat f'=1/(2f) dan volgt dat f een wortel is: f(x)=√x voldoet immers aan deze eis.

Ten tweede: als f'=a·f, met a een constante dan is f een e-macht en ook alleen maar een e-macht. Immers, we kunnen zeker zien dat f(x)=e^ax een oplossing is. Stel g is ook een oplossing; pas de volgende truc toe: schrijf g(x)=g(x)·e^-ax·e^ax en kort g(x)·e^-ax even af met h(x), dus g(x)=h(x)·e^ax. Vul dit nu even in in de vergelijking g'=a·g: er komt h'(x)·e^ax+h(x)·a·e^ax=a·h(x)·e^ax maar na links en rechts de juiste dingen wegstrepen komt er h'(x)·e^ax=0 en omdat de e-macht nooit nul is geeft dat h'(x)=0 en dus h(x) is constant, zeg met waarde K. Dan zien we dat g(x)=K·e^ax en dus is g zelf ook een e-macht.

De reden hiervoor is tweeledig: de echte e-macht e^x is z'n eigen afgeleide en met behulp van de kettingregel kun je dan heel vaak een oplossing van een DV raden: zeg f'(x)=sin(x)·f(x); omdat sin(x) de afgeleide van -cos(x) is kun je meteen zien dat e^-cos(x) een oplossing van de DV is. Aan de andere kant: als je de truc met g en h hierboven goed door hebt kun je nagaan dat elke andere oplossing van de DV van de vorm K·e^-cos(x) zal zijn.

Het ligt dus aan: de e-macht zelf, de kettingregel en het feit dat functies met afgeleide nul allemaal constant zijn.

kphart
14-2-2006