WisFaq!

Integraal van arcsin(x)

Hoi,

Ik probeer met behulp van partitieel integreren de volgende opgave uit te rekenen:

integraal van arcsin(x)·dx

nu kom ik zover:

x·arcsin(x)-integraal van x·d(arcsin(x))
=x·arcsin(x)-integraal van x·1/(1-x²)·dx

Ik loop vast op het uitrekenen van die laatste integraal met de 1/(1-x²). Deze ben ik namelijk ook partitieel gaan integreren, maar dan krijg je weer een integraal van arcsin(x)·dx, en dat wilde ik nou juist weten!

Het antwoord op de vraag moet zijn:

x·arcsin(x)+(1-x²)+C

Wat doe ik nou fout?

Met vriendelijke groet Karel

Karel van Eijkeren
16-9-2002

Antwoord

Nou, je was anders al een heel eind hoor!

òarcsin(x)dx =
ò1.arcsin(x)dx = (partieel)
[x.arcsin(x)] - òx/(1-x²) dx

de term x/(1-x²) kun je wederom partieel doen, maar kijk nou eens naar het GEHEEL x/(1-x²).
De primitieve hiervan is toevallig heel 'mooi':
-(1-x²) (neem de afgeleide maar weer eens, en je krijgt weer +x/(1-x²)

en dus: [x.arcsin(x)] - òx/(1-x²) dx =
[x.arcsin(x)] + [(1-x²)]

ofwel de primitieve van arcsin(x) is
x.arcsin(x) + (1-x²) + C

groeten,
martijn

mg
16-9-2002