WisFaq!

Re: Orthogonale basis

Hartelijk dank voor de vlugge reactie!

maar ik zit nog met een probleempje, je zegt dat:

We willen een orthogonale basis. Laten we de eerste basisvector staan, en we bouwen twee loodrechte vectoren, die ook loodrecht staan op 1, en die dezelfde ruimte voortbrengen.

Die basis moet er zo uitzien:

(1, sin(x) + a*cos(x), sin(x) + b*cos(x))

hoe kom je tot het feit dat dit 2 vectoren zijn die loodrecht staan op 1 en toch dezelfde ruimte voortbrengen?

Bedankt!!

Tom
22-1-2006

Antwoord

Twee vectoren f(x) en g(x) staan loodrecht op elkaar als hun inproduct nul is, dus als die gegeven integraal nul is.

Wat ik daarnet niet gezien heb, is dat de basis die gegeven is zelfs als orthogonaal is. Want (ik schrijf de grenzen even niet om de notatie niet te overbelasten):

òcos²(x) * 1 * sin(x) dx = 0
òcos²(x) * 1 * cos(x) dx = 0
òcos²(x) * cos(x) * sin(x) dx = 0

En je vroeg nog hoe je kan zien dat (1,sin(x),cos(x)) en (1, sin(x) + cos(x), sin(x) - cos(x)/3 ) dezelfde ruimte over voortbrengen?

Wel dat is simpel, kijk:
vect(1, sin(x) + cos(x), sin(x) - cos(x)/3 )
= {a + b(sin(x) + cos(x)) + c(sin(x) - cos(x)/3) | a,b,cÎ }
= {a + (b+c)sin(x) + (b-c/3) cos(x) | a,b,cÎ }
= {a + d sin(x) + e cos(x) | a,d,eÎ }
=vect(1,sin(x),cos(x))

Succes!

km
22-1-2006