WisFaq!

Re: Formule voor de magische constante

Even een verduidelijkingsvraag aangezien ik er met het huidige antwoord niet uitkom. Ik snap heel jullie optelling niet en aan het einde van de optelling staat er ook S=¹/₂.n².(n²+1), terwijl de formule s=¹/₂.n(n²+1) moet zijn volgens de opgave. Waar gaat het hier nou fout?

priscilla van brakel
9-1-2006

Antwoord

Beter lezen denk ik...

Om te laten zien dat voor elke rij en kolom de som gelijk is aan ¹/₂n(n²+1) bereken je eerst de som van alle getallen uit het vierkant, dat is ¹/₂n²(n²+1) en die totale som deel je dan door n omdat je steeds n rijen of n kolommen hebt zodat je een ¹/₂n(n²+1) krijgt voor de som van elke rij of kolom.

Dus wat is het probleem? Waarschijnlijk hoe je nu aan die ¹/₂n²(n²+1) komt. Laten we dat dan nog maar 's doen, vooral omdat het zo verrassend eenvoudig is...

Je wil de getallen 1, 2, 3, ...., n² optellen, dus de som van alle getallen van 1 t/m n². Je hebt immers een vierkant van n bij n en dus heb je n² getallen van 1 tot en met n².

Schrijf de som eerste van klein naar groot:

1+2+3+...+(n²-2)+(n²-1)+n²

Schrijf vervolgens dezelfde som eronder in omgekeerde volgorde:
S=1+2+3+...+(n²-2)+(n²-1)+n²
S=n²+(n²-1)+(n²-2)+...+3+2+1

Als je nu de twee sommen bij elkaar optelt... dan heb je steeds dezelfde termen... ga maar na:
1+n²
2+(n²-1)=n²+1
3+(n²-2)=n²+1
...
Enz...

Hoeveel termen heb je dan uiteindelijk? Precies n² keer n²+1, dus als de S en S optelt krijg je n²·(n²+1). Dus:

2S=n²·(n²+1)
S=¹/₂n²·(n²+1)

Dus het totaal van alle getallen is ¹/₂n²·(n²+1).
De som van 1 rij (of 1 kolom) is ¹/₂n·(n²+1).

Makkelijker kunnen we 't niet maken...

WvR
9-1-2006