WisFaq!

Cartesiaanse vgl van een ellips naar Parametervoorstelling

beste,
de cartesiaanse vgl van een ellips is: x^2/a^2 + Y^2/b^2=1
de parametervoorstelling van een ellips is:x=acost, y=bsint

maar hoe ga ik nu van de cartesiaanse vgl naar de parametervoorstelling (louter theoretisch). Het is evident te bewijzen dat deze correct zijn door x en y in te vullen in de vgl. maar het afleiden ervan lukt mij nu net iets minder.

ik heb het al als volgt geprobeerd:

1 = cos²t + sin²t

en dan x^2/a^2 + y^2/b^2 = cos²t + sin²t

het is lijkt evident zo de x en y en cos en sin gelijk te stellen aan elkaar. maar dan bedenk ik mij

2 + 2 = 4 en 1 + 3 = 4
en 1 is niet gelijk aan 2 en 3 ook niet gelijk aan 2...
dus in de verondstelling dat zoiets dus niet mag weet ik dus niet hoe het moet.

dank bij voorbaat!

Laurent Dragonetti
26-12-2005

Antwoord

Beste Laurent,

In de andere richting valt het beter mee, je elimineert gewoon de parameter t om naar de cartesische vorm te gaan. Andersom kan je het soms meetkundig bekijken (denk aan de parametervoorstelling van een cirkel m.b.v. de eenheidscirkel, de ellips is er een veralgemening van) of door een handige parametrisatie te kiezen vanuit de cartesische vergelijking.

In het algemeen is een parametervoorstelling van een kromme niet uniek. Het feit dat je 4 kan bekomen als 2+2 maar ook als 3+1 maakt dus niet uit, je kiest eender welke parametrisatie, liefst een die een mooi resultaat geeft natuurlijk.

Je was zelf bij:
x²/a² + y²/b² = cos²t + sin²t
b²x² + x²y² = a²b²cos²t + a²b²sin²t

Het is nu duidelijk (door de coëfficiënten van de verschillende termen te identificeren) dat een mogelijke parametrisatie gegeven wordt door x = a.cos(t) en y = b.sin(t) (Merk op dat de je evenzeer sin & cos kan verwisselen, dit voldoet achteraf gezien ook aan de cartesische vergelijking)

mvg,
Tom

td
27-12-2005