WisFaq!

Complexe vergelijking

Hallo Wisfaq,
Hier nog een par specifieke prioblemen waar ik mee worstel:

1)1+(cosq+isinq)*(cos2q+isin2q)*...*(cosnq+isinnq)=0(* staat voor maalteken!)
2) gegeven: c1=4Ö2(1-i) en
c2=1/2(1+Ö3i) met n behoort tot N
Voor welke waarden is de breuk (c1/c2)^n een reeêl getal?

3)Bewijs de formules hieronder gegeven door gebruikmaking van het complex getal:
C=(cosa+cos2a+cos3a+..+cosna)+(sina+sin2a+sin3a+..+sina)i
a) cosa+cos2a ..cosna= ((sin(na/2)cos((n+1)a/2)):sin(a/2)
b) sina+sin2a=..+sin(na)=sin(na/2)sin((n+1)a/2):sin(a/2)
met a¹2kp en n €No
Graag wat hulp aub;
Groeten

lemmens hendrik
18-12-2005

Antwoord

In alle gevallen kun je met de formule cosa+isinx=e^ix een heel eind komen, en ook met de formule van De Moivre (cos nx+isin nx)=(cosx+isinx)ⁿ.
in 1) krijg je zo 1+``een enkele macht''
in 2) beide in modulus-exponent-vorm schrijven en kijken voor welke n de exponent een veelvoud van 2pi is
in 3) C is gelijk aan e^ia+e^2ia+...+e^nia; dat is een meetkundige reeks, die kune je sommeren, daarna kun je het resultaat weer in vormen met cos en sin terugbrengen

kphart
23-12-2005