WisFaq!

Limiet

Hallo,

Kan je bewijzen dat lim [n!·t²ⁿ]/[(2n)!·2ⁿ] = 0

Voor n - ¥ en voor t willekeurig ?

Bedankt

Leen
5-12-2005

Antwoord

Dag Leen,

Dat is zeker mogelijk: het gaat makkelijkst door eerst een paar afschattingen te maken: zo geldt dat
n!/(2n)! = 1/((n+1)...(2n)) 1/n!
En t²ⁿ/2ⁿ=(t²/2)ⁿ uⁿ waarbij we u een natuurlijk getal kiezen, groter dan t²/2.

Dus de uitdrukking uⁿ/n! = x_n
Dat deze term x_n naar nul gaat is intuïtief duidelijk: in de teller staan n factoren die alle even groot zijn (u), in de noemer staan evenveel factoren die echter steeds groter worden. Als je het explicieter wil:
x_2u = u^2u/(2u)! = C
lim x_n = C*(u/(2u+1))*(u/(2u+2))*... C*(1/2)*(1/2)*(1/2)*... = 0.

Merk nog op dat al je termen positief zijn, dan volgt daaruit dat de limiet van de opgave gelijk is aan nul, en dat voor elke t.

Groeten,
Christophe.

Christophe
6-12-2005