WisFaq!

Reductie formules

Voor onze examen analyse moeten we een aantal reductie formules zelf kunnen bewijzen, nu ben ik bezig met de volgende formule:

̣sinⁿ(x)·cos^p(x) dx
=(n+p)· ̣sinⁿ(x)·cos^p(x)dx
= (p-1)· ̣sinⁿ(x)·cos^p-2(x)dx + sinⁿ⁺¹(x)·cos^p-1(x)

Ik hebt dit gedaan met partiële integratie:

u = cos^p-1(x)
= du = (p-1)·cos^p-2·(-sin(x))dx
dv = cos(x)·sinⁿ(x)dx = sinⁿ(x)dsin(x)
= v = sinⁿ⁺¹(x)/(n+1)

De integraal wordt dan:

cos^p-1(x)·sinⁿ⁺¹(x)/(n+1)-̣sinⁿ⁺¹(x)/(n+1)·(p-1)·cos^p-2·(-sin(x))dx
=(cos^p-1(x)·sinⁿ⁺¹(x))/(n+1)+(p-1)/(n+1)̣sinⁿ⁺¹(x)·cos^p-2·sin(x)dx
=(cos^p-1(x)·sinⁿ⁺¹(x))/(n+1)+(p-1)/(n+1)̣sinⁿ⁺²(x)·cos^p-2dx

Ik heb het gevoel dat ik er bijna ben maar die /(n+1) moet nog /(n+p) worden en binnen de integraal moet sinⁿ⁺²(x) veranderd worden in sinⁿ(x)

Zie ik iets over het hoofd?

Koen Brantegem
25-11-2005

Antwoord

Hallo

Ik kan je redenering niet goed volgen, maar ik stel andere oplossing voor.

Ik stel de opgave gelijk aan : I_(n,p) =
̣sinⁿ(x).cos^p(x).dx =
̣sin^n-2(x).(1-cos²x).cos^p(x).dx =
̣sin^n-2(x).cos^p(x).dx - ̣sin^n-2(x).cos^p+1(x).cos(x).dx =
̣sin^n-2(x).cos^p(x).dx - ̣sin^n-2(x).cos^p+1(x).d(sin(x)) =
I_n-2,p - ̣cos^p+1(x).d(^sinn-1(x)/_n-1) =
I_n-2,p - ¹/_n-1.̣cos^p+1(x).d(sin^n-1(x))

Op de tweede integraal passen we een partiële integratie toe :

I_n-2,p - ¹/_n-1.cos^p+1(x).sin^n-1(x) + ¹/_n-1.̣sin^n-1(x).d(cos^p+1(x)) =

I_n-2,p - ¹/_n-1.cos^p+1(x).sin^n-1(x) + ¹/_n-1.̣sin^n-1(x).(p+1).cos^p(x).d(cos(x)) =

I_n-2,p - ¹/_n-1.cos^p+1(x).sin^n-1(x) - ^p+1/_n-1.̣sin^n-1(x).cos^p(x).sin(x).dx =

I_n-2,p - ¹/_n-1.cos^p+1(x).sin^n-1(x) - ^p+1/_n-1.̣sinⁿ(x).cos^p(x).dx =

I_n-2,p - ¹/_n-1.cos^p+1(x).sin^n-1(x) - ^p+1/_n-1.I_n,p

Deze laatste integraal is weer de beginopgave en brengen we terug naar het linkerlid :

I_n,p + ^p+1/_n-1.I_n,p = I_n-2,p - ¹/_n-1.cos^p+1(x).sin^n-1(x)

(^n+p/_n-1).I_n,p = I_n-2,p - ¹/_n-1.cos^p+1(x).sin^n-1(x) =

I_n,p = (^n-1/_n+p).I_n-2,p - ¹/_n+p.cos^p+1(x).sin^n-1(x)

Je ziet dat in de integraal de macht van de sinus gedaald is met 2.

Je kunt ook de macht van de cosinus laten dalen met 2.

Je begint dan met : I_(n,p) =
̣sinⁿ(x).cos^p(x).dx =
̣sinⁿ(x).cos^p-2(x).(1-sin²x).dx = ...

LL
26-11-2005