WisFaq!

Goniometrische limiet

" x Î ]0,p[: sin x tan x
Û ^{.sin x.}/_{.sin x .}^.x./_{.sin x.}^{.tan x.}/_{.sin x.}
Û 1 ^.x./_{.sin x.}^.1./_{.cos x.}
dan zijn de limieten: lim X-0 (1)=lim x-0 (1/cos x) = 1
Dus de tussenliggende limiet is ook 1.

Nu vraag ik me hetzelfde af, maar voor het 2e kwadrant.

Just me
22-11-2005

Antwoord

Hallo

In het tweede kwadrant is deze stelling niet van toepassing, want als x in het tweede kwadrant ligt, kan x niet naderen naar 0.
Trouwens je eerste gegeven klopt niet (" x Î]0,p[ : ...
Als x in het tweede kwadrant ligt, is sin x nog steeds positief en tan x is negatief, zodat zeker niet geldt dat sin x tan x.

Je bovenstaande bewijs geldt enkel " x Î ]0,^p/₂[

Je kunt de stelling wel uitbreiden voor x liggend in het vierde kwadrant :

lim(x®0)^{sin x}/_x = (*)

we vervangen nu x = -x' met x' in het eerste kwadrant

(*) = lim(x'®0)^sin(-x')/_-x' =

lim(x'®0)^{sin x'}/_x' = 1 (zie je eerste bewijs)

LL
23-11-2005