WisFaq!

Goniometrische stelsel oplossen

Toon aan dat:
(Cos 6a+ 6 cos 4a+ 15 cos 2a+10)/(cos 5a+ 5 cos 3a +10 cos a)= 2 cosa

Hoe moet ik aan deze oefening beginnen omdat ik niet direkt de relatie zie naar de goniometrische formules.

claes gerard
13-11-2005

Antwoord

Hallo

Beginnen we bij de teller en stellen we 2a=b :
cos 3b + 6 cos 2b + 15 cos b + 10
Je weet dat cos 3b = cos(2b+b) = cos b.(4 cos²b-3)
en cos 2b = 2.cos²b - 1
Vervang dit en je bekomt de vorm met x = cos b :
4.(x³+3x²+3x+1) = 4.(x+1)³ = 4.(cos 2a + 1)³

De noemer kan geschreven worden als :
(cos 5a + cos a) + 5.(cos 3a + cos a) + 4.cos a
Pas tweemaal de formule van Simpson toe :
2.cos 3a.cos 2a + 10.cos 2a.cos a + 4.cos a =
2.cos 3a.cos 2a + 2.cos 2a.cos a + 8.cos 2a.cos a + 4.cos a =
2.cos 2a.(cos 3a + cos a) + 4.cos a.(2.cos 2a + 1)
Pas nogmaals de formule van Simpson toe en je bekomt na wat uitwerken :
4.cos a.(cos²2a + 2.cos 2a + 1) =
4.cos a.(cos 2a + 1)²

De breuk wordt dus ^{(cos 2a + 1)}/_{cos a} = ^2.cos2a/_{cos a} = 2.cos a

LL
13-11-2005