WisFaq!

Telprobleem

Ik heb een opgave gemaakt, die ik helemaal uitgeschreven heb. Alleen ik vraag me af of er niet een makkelijker manier is om aan het antwoord te komen . Kunnen jullie mij helpen?

Consider a group of four people. Everbody writes down the name of one other (random) member of the group. What is the probability that there is at least one pair of people who wrote down each others name?

Mijn uitwerking:

Totale mogelijkheden zijn 3·3·3·3. Want je mag jezelf niet kiezen.

A= event that there is at least one pair of people who wrote down each others name

B= event that there is no pair of people of people who wrote down each others name

P(A) = 1 - P(B) dat dacht ik althans¡­

Stel 2123 staat voor: persoon 1 kiest 2, persoon 2 kiest 1, persoon 3 kiest 2 en persoon 4 kiest 3. In dit geval is er dus 1 paar. Namelijk 1 kiest 2 en 2 kiest 1. Algemene vorm: xx₁1, x₃x₂, 43xx, x₃2x, 2x₄x en 21xx. Waarbij xx staat voor dat deze een paar vormen. De overig invulling van cijfers moeten voldoen aan: persoon i mag zichzelf niet kiezen.

Dus er zijn 4!/2!2! (vier boven 2 = 6) soorten mogelijkheden. Met binnen elke mogelijkheid 9 verschillende rangschikkingen. Bijvoorbeeld voor de algemene vorm xx₁1. Als xx een paar vormt dan kan persoon 3 en 4 ieder 3 toegelaten mogelijkheden kiezen. Dit geeft in totaal 3 maal 3 = 9 rangschikkingen.

Dus in totaal zijn er (((3·3)·6 )¨C 3)/3·3·3·3 = 17/27

(-3): dubbeltelling; de vormen xx₄3 en 21xx zijn hetzelfde als 2143 gelijk is aan 2143.

Dus xxyy = 4!/2!.2! = 6 mogelijkheden, drie daarvan zijn dubbel. Dus we mogen 3 erbij rekenen.

kkchan
7-11-2005

Antwoord

P(A) = 1 - P(B)

Om de vraag te beantwoorden kun je dus ook P(B) uitrekenen, waarom doen we dat niet?

Voor de duidelijkheid; we rekenen nu de kans uit dat er GEEN paar wordt gevormd.

Persoon 1 kiest iemand, daar heeft hij 3 mogelijkheden voor. De persoon die hij kiest mag nu de eerste niet meer kiezen (anders vormen zij een paar). Hij heeft dus nog twee mogelijkheden over, ook hij maakt zijn keuze. Dit gaat goed met kans 2/3.

De persoon die nu werd gekozen mag niet de tweede persoon kiezen, maar persoon 1 mag hij wel kiezen. Dus ook voor deze persoon zijn er 2 mogelijkheden. Ook dit heeft kans 2/3 op slagen. Met kans 1/3 kiest hij persoon 1, met kans 1/3 kiest hij de vierde persoon.

Afhankelijk van wat de derde persoon heeft gedaan heeft de vierde persoon nu kans 1 om geen paar te vormen (niemand heeft namelijk hem gekozen), OF kans 2/3 om geen paar te vormen (de derde persoon heeft hem gekozen).

Bij elkaar is dat dus: 2/3×1/3×1 + 2/3×1/3×2/3 = 2/9 + 4/27 = 10/27

Dus de kans dat er minstens een paar gevormd wordt:
P(A) = 1 - P(B) = 1 - 10/27 = 17/27

TdM
10-11-2005