WisFaq!

Oneigenlijke limiet met wat gonio

Iemand heeft als oefening de volgende bizarre functie uitgedacht:

lim x®¥ x·sin(x)+x·Öx / Ö(x³+1)+x·e^-x

Die x·sinx varieert van -¥ naar +¥ en weer terug, dus in de teller heb ik ±¥ + ¥

In de noemer maakt die x·e^-x mij het leven ook niet mooier, omdat dit een onbepaaldheid ¥·0 oplevert.

Hoe pak ik dit monster aan?

Wouter
24-10-2005

Antwoord

Voor iedere x geldt:
-x+x×Öx / Ö(x3+1)+x·e^-x x·sin(x)+x×Öx / Ö(x3+1)+x·e^-xx+x×Öx / Ö(x3+1)+x·e^-x
Als je nu kunt aantonen dat -x+x×Öx / Ö(x^3+1)+x·e^-x en x+x×Öx / Ö(x^3+1)+x·e^-x dezelfde eindige limiet hebben dan heeft x·sin(x)+x×Öx / Ö(x^3+1)+x·e^-x ook diezelfde limiet. (insluitstelling).

Bekijken we nu -x+x×Öx / Ö(x3+1)+x·e^-x.
Als we teller en noemer door xÖx delen dan krijgen we in de teller:
-1/Öx+1 en deze nadert tot 1
in de noemer krijgen we dan:
Ö(x^3+1)/xÖx+e^-x/Öx=
Ö(1+1/x^3)+e^-x/Öx en dit nadert tot 1. De limiet van deze uitdrukking is dus 1.
Analoog kun je de limiet bepalen van -x+x×Öx / Ö(x^3+1)+x·e^-x

hk
24-10-2005