WisFaq!

Convergentiestraal machtreeksen

Hallo :)

Van de volgende 2 machtreeksen moet ik de convergentiestraal berekenen en ook het gedrag in de randpunten onderzoeken.

$
\eqalign{
& a.\,\,\,\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{x^{2n} }}
{{n \cdot 4^n }}} \cr
& b.\,\,\,\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{e^n x^n }}
{{n^2 + n}}} \cr}
$

Ik wil de tweede graag zelf doen en dat u het voor mij corrigeert. Wilt u aub de eerste voor mij voordoen?

Super bedankt.
Groetjes

Lisette
23-10-2005

Antwoord

Je kunt meestal het wortel-criterium of het quotient-criterium gebruiken. Je zoekt alle x-en waarvoor de reeks absoluut convergeert: de n-de machtswortel van de algemene term is x²/4n^1/n. De limiet hiervan is x²/4; de reeks convergeert als deze limiet (in absolute waarde) kleiner is dan 1, dus als |x|$<$2. Als x=±2 is de algemene term gelijk aan 1/n en die reeks divergeert. Dus de reeks convergeert alleen als |x|$<$2, dus 2 is de convergentie straal en in de randpunten convergeert de reeks niet.

Alternatief: deel de (n+1)-ste term door de n-de; je krijgt x²/4·n/(n+1). De limiet is weer x²/4 en je concludeert als boven dat R=2.

kphart
24-10-2005