WisFaq!

L`hopital toepassen op een limiet

ik slaag er steeds in om volgende oefening verkeerd op te lossen:

lim (2-x²)^{tan(pi.x/2)
x®1}

wat ik tot nu heb:
de rechterlimiet (x1)geeft aanleiding tot een onbepaaldheid

ln (2-x²).tan(pi.x/2) dit geeft volgens mij nog steeds een onbepaaldheid dus vorm ik nu de limiet om :

ln (2-x²)/ 2:tan(pi.x) dan (denk ik) moet l'hopital toegepast worden maar krijg een te moelijke berekening...

dank bij voorbaat

student
6-9-2005

Antwoord

Hallo,

Je bent goed op weg denk ik, alleen in de laatste stap doe je "2:" en je laat de factor 1/2 binnen de tangens gewoon vallen, dat klopt niet. We komen dus tot: ln(2-x²)/(1/tan(xp/2))

Prettig wordt het inderdaad niet, maar we passen L'Hopital toe:
ln(2-x²)' = 2x/(x² - 2)

Voor de noemer gebruiken we eerst dat tan(x/2) = sin(x)/(1+cos(x))
1/tan(xp/2) = (1+cos(px))/sin(px)
((1+cos(px))/sin(px))' = (-pcos(px)-p)/sin²(px)

Dit laatste geeft nog steeds een onbepaaldheid maar kan verder vereenvoudigd worden:
(-pcos(px)-p)/sin(px)² = (-p(cos(px)+1))/(1-cos²(px)) = (-p(cos(px)+1))/((1-cos(px))(1+cos(px))) = -p/(1-cos(px))

Onze breuk wordt na toepassing van L'Hopital:
(2x/(x² - 2))/(-p/(1-cos(px)))

Invullen van x = 1 levert nu mooi 4/p maar we moeten de e-macht niet vergeten zodat de uiteindelijke limiet gelijk is aan:
e^4/p

mvg,
Tom

td
6-9-2005