WisFaq!

geprint op woensdag 22 mei 2019
Integraal berekenen
˛dx/(x2+1)3
Ik herken daarin wel een basisintegraal (die van Bgtg), maar daarvoor staat die exponent 3 natuurlijk 'in de weg'.
Ik probeerde al vanalles te substitueren en pastte ook al partiŰle integratie toe, maar tot nog toe allemaal zonder succes...
Kan iemand helpen?
Thx!

e
17-8-2005


Antwoord
Je kunt hier de methode van Ostrogradsky gebruiken.

Voor deze integraal stel je dan

˛dx/(x2+1)3= (ax3+bx2+cx+d)/(x2+1)2 + ˛(px+q)/(x2+1).dx

Neem nu van de twee leden de afgeleide :

1/(x2+1)3 = D(ax3+bx2+cx+d/(x2+1)2) + (px+q)/(x2+1)

Werk de afgeleide van de breuk uit en zet nu het rechterlid op gelijke noemer (x2+1)3.

Stel vervolgens de tellers van linker- en rechterlid aan elkaar gelijk.

Je bekomt dan

1 = p.x5 + (q-a).x4 + 2.(p-b).x3 + (3a-3c+2q).x2 + (2b-4d+p).x + (c+q)

Hieruit volgt :
p=b=d=0
q=a=3/8 en c=5/8

Dus

˛dx/(x2+1)3 =

1/8.(3x3+5x)/(x2+1)2 + 3/8˛dx/(x2+1) =

1/8.(3x3+5x)/(x2+1)2 + 3/8.Bgtg(x) + c

LL
18-8-2005


© 2001-2019 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#39953 - Integreren - Student Hoger Onderwijs BelgiŰ