WisFaq!

Absoluut en relatief convergent

1 als een rij relatief convergent is geldt dan dat ze niet absoluut divergent is?

2 ik moet bewijzen dat de reeks $\sum$^$\infty$_n=1 (-1)ⁿ 1 ( √[n(n+1)] absoluut divergent is en relatief convergeert

relatief convergent is ok

voor absoluut divergent neme ik abs van die reeks
en zoek ik met d'alembert:
waarvoor dan geldt dat de limiet a_n+1 / a_n normaal 1 zou moeten zijn
dus kan je niets besluiten met d'alembert
ben ik correct to hier toe?

indien ja moet ik vergelijkinstest toepassen: nu vind ik geen efficiente reeks om mee te vergelijken? kan je mij opweg helpen

dankje

maarten
20-6-2005

Antwoord

Beste Maarten,

1) Een willekeurige reeks $\sum$u_n is absoluut convergent indien de reeks $\sum$|u_n| convergeert. Een absoluut convergente reeks is altijd convergent. Een reeks die convergent is, maar niet absoluut convergent, noemen we relatief convergent. (De reeksen gaan hier uiteraard voor n tot oneindig en het bovenstaande is van toepassing voor reële reeksen)

2) Als we de absolute reeks nemen valt die (-1)ⁿ weg, we houden dan een positieve reeks over. Vergelijk deze met de harmonische reeks (verhouding van de algemene term, dan limiet voor n naar oneindig) en je zal 1 vinden, dus: ze hebben hetzelfde convergentiegedrag. Vermits de harmonische reeks divergent is, divergeert ook deze reeks (absoluut).

mvg,
Tom

td
20-6-2005