WisFaq!

Diagonaliseren matrices

Ik moet voor het examen een belangrijk stuk over het al dan niet diagonaliseerbaar zijn van een matrix kennen.
In de cursus staan geen opgeloste oefeningen of voorbeelden hierover.
Kunt u mij een voorbeeld geven van hoe je een matrix diagonaliseert? Ik weet dat dit niet mogelijk is voor elke matrix.

Juanito Baute
30-5-2005

Antwoord

Beste Jaunito,

Toevallig heb ik ooit zo'n voorbeeldje uitgewerkt dus ik heb de uitleg hier nog liggen

Om het eenvoudig te houden zal ik een 2x2 matrix A diagonaliseren.

Daarvoor stel je eerst de karakteristieke determinant op. Dit is de determinant van A waarbij je van de elementen op de hoofddiagonaal l aftrekt. Deze determinant stel je gelijk aan 0 om dan daaruit de karakteristieke veelterm op te stellen waar je dan de eigenwaarden kan uithalen.



Nu heb je de eigenwaarden gevonden. Dan moet je voor elke eigenwaarde het stelsel (A-lI)X = 0 oplossen waarbij ik met I de eenheidsmatrix bedoel. Dit ziet er misschien ingewikkeld uit, maar het komt er in feite op neer dat je in die karakteristieke determinant twee keer de gevonden eigenwaarde gaat invullen (en dus aftrekken van de hoofddiagonaal).
We hebben nu echter niet meer de determinant nodig, maar de oplossingen van het stelsel waarbij we die matrix gelijk stellen aan 0. Dit kan gewoon door een kolom nullen toe te voegen en dan oplossen zoals je dat gewoon bent, met Gauss of wat dan ook.

Daaruit haal je dan steeds een eigenvector die bij die eigenwaarde hoort, die overigens op een evenredigheidsfactor na bepaald is.
Je doet dit voor elke gevonden eigenwaarde:



Zoals je ziet zijn de vergelijkingen in de stelsels steeds lineair afhankelijk zodat je een nulle rij krijgt. Je vindt nu per eigenwaarde een eigenvector = de matrix is diagonaliseerbaar.

De diagonalisatie van de matrix A voldoet nu aan: A = P*D*P^-1
Hierbij is A de originele matrix, D de diagonaalmatrix met op de hoofddiagonaal de eigenwaarden en P de matrix met in de kolommen de eigenvectoren. (P^-1 is hier uiteraard de inverse van)
Omgekeerd vind je de diagonaalmatrix uit: D = P^-1*A*P

Het berekenen van die inverse zal je ook wel kunnen, het resultaat is dus:



Dit was een eenvoudig diagonalisatie-voorbeeld. Wat zijn nu de problemen die je kan tegenkomen?
Hier vonden we voor een 2x2 matrix netjes 2 eigenwaarden en per eigenwaarde één eigenvector. Dit is echter niet altijd het geval, soms vind je bvb "te weinig" eigenwaarden. Voorbeeld: een 3x3 matrix met maar 2 eigenwaarden (1 is dan een dubbele wortel van je karakteristieke veelterm).
Dan zijn er 2 mogelijkheden:
- Je vindt voor die eigenwaarde wel 2 eigenvectoren zodat je in het totaal toch nog 3 verschillende eigenvectoren hebt = matrix wél nog diagonaliseerbaar.
- Je vindt voor die eigenwaarde ook maar één eigenvector = je hebt een eigenvector tekort = matrix niet diagonaliseerbaar.

mvg,
Tom

td
30-5-2005