WisFaq!

Vraagstuk ivbm diiferentieren

Hallo, bij het hoodstuk differentieren staat het volgende vraagstuk in mijn boek:
Wat zijn de afmetingen van een rechthoek met een zo groot mogelijke oppervlakte die men in een cirkel met 25 cm straal kan tekenen zodat de vier hoekpunten op de cirkel gelegen zijn?
Nu heb ik het wel op een andere manier opgelost. Dit is mijn antwoord:
Gezien de hoeken op de cirkel gelegen zijn kunnen we stellen dat de diagonaal van het vierkant dezelfde lengte heeft dan de doorsnede van de cirkel.
Vervolgens berekenen we de schuine zijde van het vierkant met de formule van Pythogoras wat 35,355cm als oplossing geeft.
Hoe kan ik dit vraagstuk nu oplossen door middel van afgeleiden?
hartelijk bedankt!
Elia

Elia
29-5-2005

Antwoord

Afgeleiden kan je gebruiken om van een bepaalde functie een lokaal maximum of minimum te berekenen. Wat we hier willen is de oppervlakte maximaliseren.

Zoals je al aangaf weet je dat de diagonaal van de rechthoek = diameter van de cirkel, 50cm dus.
Hoe kan je van een rechthoek met diagonaal 50 de oppervlakte bepalen... Wel, dat kan niet, want er zijn oneindig veel verschillende rechthoeken met verschillende oppervlakte die allemaal een diagonaal van 50 cm hebben. Wat je wel kan doen is een parameter invoeren, bijvoorbeeld, de lengte van 1 zijde. Als je die kent, en je kent de lengte van de diagonaal, dan ligt de rechthoek vast.
Noem een zijde x, en de diagonaal 50 cm
dan is de andere zijde (gebruik pythagoras) Ö(50²-x²)
De oppervlakte is dus Ö(50²-x²)*x
=Ö((50x)²-x⁴)

We zoeken nu de x (de zijde) zodat deze oppervlakte maximaal wordt.
Daarvoor nemen we de afgeleide en stellen die nul.
Dus (dmv de kettingregel)

2(x³-1250x)/Ö(2500x²-4²) = 0

=
x=25*Ö2

Hieruit volgt ook de andere zijde, die is tevens 25*Ö2 waaruit inderdaad blijkt dat de maximale oppervlakte optreedt bij een vierkant.



Koen

km
29-5-2005