WisFaq!

Verwachtingswaarde (XY)

f(x,y)=24xy x0,y0,x+y1
f(x,y)=0 elders

a) vind E(XY)
b) vind cov(X,Y)
c) vind correlatiecoefficient(X,Y)

ik weet echt niet hoe ik dit kan aanpakken. ik dacht eerst cov(X,Y) uitrekenen, door E[(X-m)(Y-m)] en daarmee E(XY) vinden, door cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). maar dan zit ik met de verwachtingen hoe ik dat moet uitrekenen, want over welk gebied moet ik nu precies integreren? ik snap het echt niet meer, alvast bedankt voor de hulp!!

suki
24-5-2005

Antwoord

Verwachtingen zijn integralen van waarden die gewogen worden met een bepaalde factor die rekening moet houden met de kansverhoudingen dat bepaalde waarden optreden.

Integreren over het driehoekje D "x0,y0,x+y1" kan je bijvoorbeeld door eerst x te laten varieren tussen 0 en 1 en y tussen 0 en 1-x.

E[XY] is dus de integraal van xy(24xy) over D = 2/15
E[X ] is de integraal van x(24xy) over D = 2/5
E[Y] is de integraal van y(24xy) over D = 2/5 (=E[X ] uit de symmetrie van het probleem)

En de rest vind je hiermee vast zelf wel, niet?

Merk op dat X en Y niet onafhankelijk zijn, want dan was E[XY] = E[X ]E[Y] geweest. Nochtans lijkt f(x,y) mooi scheidbaar te zijn f(x,y)=g(x)h(y). Dat is echter slechts schijn. De scheidbaarheid moet in volledig R² gelden en door de driehoekige vorm van D, het gebied waarin f(x,y) niet nul is, is dat hier niet het geval.

cl
24-5-2005