WisFaq!

Vijfhoek

Op de kleinste boog BC van de omgeschreven cirkel van een regelmatige vijfhoek ABCDE kiest men een punt P.
Bewijs dan dat:
|PA|+|PD|=|PB|+|PC|+|PE|
Bestaat er ook een analoge eigenschap voor een zeshoek?
Graag een oplossing....
Groeten

lemmens hendrik
13-5-2005

Antwoord

Hendrik,
Stel boog BP=a graden.Alle hoeken zijn nu in a uit te drukken,terwijl de hoeken bij P alle 36 graden zijn. Het bewijs steunt op de sinusregel voor driehoeken.

Noem AB/sin 36=X.
Nu geldt b.v. dat PA=Xsin(36+¹/₂a) en PD=Xsin(72-¹/₂a), zodat PA+PD=2Xsin(54)cos(18-¹/₂a).
Verder is PB=Xsin(¹/₂a), PC=Xsin(36-¹/₂a) en PE=Xsin(72+¹/₂a).
Optellen en gebruik maken van het feit dat 2sin(54)=2sin(18)+1 levert het gevraagde.
Groetend,

kn
15-5-2005