WisFaq!

Limieten

Ik heb een paar vraagjes

a)
lim (x$\to$0)(x+tan(x))/x

dan tan(x)/x=1 begrijp ik dus dan ga ik er van uit dat de oplossing 1 is. Maar toch zou de oplossing 2 moeten zijn.

b)
lim (x$\to$0)(sin(3x))/4x
is het fout de volgende veronderstelling te maken:

sin(3x)
------- 3x
3x
lim (x$\to$0) ----------- = lim (x$\to$0)(1·3x)/4x = lim (x$\to$0)3x/4x =3/4
4x


mtw kan je zegen als je lim (x$\to$0) dat je bij bv 4x de x kunt wij laten omdat deze toch zeer klein word. Of hoe moet ik lim (x$\to$0) dan wel juist bekijken

zo nee hoe moet ik dit dan oplossen?

c)
lim (x$\to$0) 1-cos(x)/x²=2 hoe moet ik hier aan beginnen. Ik kom steets (1-1)/0 uit

Ward
22-4-2005

Antwoord

Beste Ward,

a) (x+tan(x))/x = x/x + tan(x)/x = 1 + tan(x)/x.
Je zegt dat je begrijpt dat tan(x)/x 1 is, dus nu zie je waar die andere 1 vandaan komt

b) Helaas is de lay-out wat verschoven en kan ik niet goed zien wat jij hebt gedaan, de uitkomst klopt echter.
Als je gewoon 0 invult krijg je de onbepaaldheid 0/0, daar kan je L'Hopital op toepassen, dus teller en noemer afzonderlijk afleiden. Dan vind je 3cos(3x)/4. Als je daar 0 invult vind je rechtstreeks 3/4.

c) Die laatste lijkt me niet 2 hoor... Ik neem aan dat je de limiet voor x$\to$0 van (1-cos(x))/x² bedoelt?
Gewoon 0 invullen geeft weer 0/0, dus L'Hoptital.
Na een keer afleiden vind je: sinx/(2x)
Ofwel zie je dit als ¹/₂ · sinx/x, die laatste is een standaard limiet met als waarde 1, ofwel pas je opnieuw L'Hopital toe en vind je na een 2e keer alfeiden: cosx/2.
0 invullen geeft nu rechtstreeks ¹/₂ als oplossing.

mvg,
Tom

td
22-4-2005