WisFaq!

M-test van Weierstrass

Hallo,

kan men mij bewijzen adhv de M-test van Weierstrass dat de reeks$\sum$(aⁿ)/n! convergeert?

Met vriendelijke groet

Marina Verschoren
19-4-2005

Antwoord

Uit wat je me hebt opgestuurd, blijkt dat je de opgave verkeerd hebt geinterpreteerd.

Van de reeks $\sum$xⁿ/n! wordt beweerd dat ze uniform convergeert op intervallen van de vorm [-a,a]. Om dit met de M-test van Weierstrass aan te tonen moet je een andere reeks $\sum$M(n) vinden, waarvoor |xⁿ/n!|$<$=M(n), waarbij $\sum$M(n) convergeert. Er wordt voorgesteld M(n)=aⁿ/n! te kiezen, en inderdaad, voor die M(n) geldt de gevraagde ongelijkheid.

Maar er is nog een tweede voorwaarde die vervuld moet worden. De $\sum$M(n) moeten op zich (gewoon) convergeren. Dat is het stuk dat aan jou, de lezer, werd overgelaten.

Hiervoor kan je eenvoudig de verhoudingstest (ook wel ratiotest) gebruiken. Aangezien

M(n+1)/M(n) = a/(n+1)

voor elke a limiet 0 heeft wanneer n$\to\infty$ en 0 kleiner is dan 1, de grenswaarde voor toepassing van de ratio-test, convergeert $\sum$M(n). Volgens Weierstrass convergeert $\sum$xⁿ/n! dan uniform op de intervallen [-a,a].

cl
20-4-2005