WisFaq!

Bewijs (x+y)ⁿ

Hallo,

ik moet dit bewijzen:

(x+y)ⁿ = xⁿ + nx^n-1 ·y + ((n·(n-1))/2!)·x^n-2 · y² + ....

Maak gebruik van reeksontwikkeling staat er ook bij,
ik heb geen flauw idee hoe ik hieraan moet beginnen,

bedankt bij voorbaat

willem
18-4-2005

Antwoord

Je kan (x+y)ⁿ schrijven als xⁿ(1+(y/x))ⁿ

Waarschijnlijk heb je iets over taylor-reeksontwikkelingen gezien?

f(t)=f(0)+f'(0)*t/1! + f"(0)*t²/2! ...

Neem nu y/x=t. Dan kan je f(t)=(1+t)ⁿ nemen, en dan moeten we op het einde nog met xⁿ vermenigvuldigen.

En nu gewoon invullen:

f(t)=f(0)+f'(0)*t/1! + f"(0)*t²/2! ...
=1+n*t + n(n-1)/2! t²+..
=

f(y/x)=1+n*y/x+n(n-1)/2*(y²/x²)+...

=
(x+y)ⁿ=xⁿf(y/x)=xⁿ+nx^n-1y+(n(n-1)/2)x^(n-2)y²+...

ziezo...

Koen

km
18-4-2005