waarom geldt: ò1/(1+x2)dx=arctanx?Jasper van Abswoude
17-4-2005
arctan(tan(x))=x, dus
d/dx arctan(tan(x)) = dx/dx = 1
tevens geldt wegens de kettingregel dat
d/dx arctan(tan(x)) = d{arctan(tan(x))}/dtanx . dtanx/dx
hieruit volgt:
d{arctan(tan(x))}/dtanx . dtanx/dx = 1 Û
d{arctan(tan(x))}/dtanx . (1/cos2x) = 1 Û
d{arctan(tan(x))}/dtanx . (sin2x+cos2x/cos2x) = 1 Û
Wanneer je in de factor (sin2x+cos2x/cos2x) nu teller en noemer deelt door cos2x, staat er:
d{arctan(tan(x))}/dtanx . (tan2x+1) = 1 Û
d{arctan(tan(x))}/dtanx = 1/(1+tan2x) Û
als je goed kijkt, staat hier in feite:
d{arctanx)/dx = 1/(1+x2), wanneer je de tanx door x vervangt.
hetgeen verklaart dat de primitieve van 1/(1+x2) gelijk is aan arctan(x)+C
groeten,
martijn
mg
17-4-2005
#36872 - Getallen - Leerling bovenbouw havo-vwo