WisFaq!

Primitiveren lengte functie van een grafiek

Voor het bereken van de lengte van een grafiek f(x) bestaat er de volgende formule:

L = òÖ(1 + (f'(x))²)dx

Als ik deze formule echter primitiveer, volgens alle regels die ik ken, krijg ik echter nooit de juiste uitkomst. In mijn wiskunde boek staat dan ook dat de hierboven genoemde integraal bijna nooit exact te berekenen is. En dat ik gewoon mijn rekenmachine moet gebruiken om deze integralen te benaderen. Maar bestaat er echt geen andere regel om deze integralen toch kunnen primitiveren??

Alvast bedankt,

M.v.gr.

Ronald

Ronald de Vlaming
16-3-2005

Antwoord

Beste Ronald,

De formule die je geeft is inderdaad een veel gebruikte vorm om de booglengte te berekenen. Het is die wortel die er in voor komt die het primitiveren vaak bemoeilijkt.
Er zijn echter geen 'andere regels' (althans geen 'nieuwe' of 'bijkomende') speciaal voor integralen van deze vorm, je zult het met de gebruikelijke technieken moeten doen.

Iets wat in het algemeen bij wortelvormen wel vaak gebruikt wordt zijn goniometrische substituties waarbij je gebruik kan maken van onder andere deze formules:

sin²x + cos²x = 1
sec²x = 1 + tan²x
sinh²x - cosh²x = 1

Het klopt helaas wel dat deze integralen over het algemeen niet altijd analytisch te primitiveren zijn en dan ben je toegewezen op numerieke benaderingsmethoden.

mvg,
Tom

td
16-3-2005