WisFaq!

Tussenaankomsttijden gamma verdeeld

Als tussenaankomsttijden exponentieel verdeeld zijn, dan is het aantal poisson verdeeld. Maar als tussenaankomsttijden alleen gamma verdeeld zijn, is het aantal dan ook gamma verdeeld? Of kan je dan niets zeggen over het aantal? of heeft het een andere verdeling?

stephanie den hertog
27-2-2005

Antwoord

Hallo Stephanie,
Interessante probleem.
Het antwoord op je eerste vraag is nee. Het aantal is natuurlijk niet gamma verdeeld want de gammaverdeling is een continue verdeling en aantallen zijn discreet.
Er is wel iets te zeggen over de verdeling van de aantallen aankomsten.
Eerst even de dingen op een rijtje:
Als de "inter arrival times" exponentieel zijn (en onafhankelijk natuurlijk) , dus met dichheisfunctie ae^-at, dan is het aantal aankomsten X(t) in tijdsinterval (0,t) Poisson(at) (dwz Poissonverdeeld met E(X(t) =at) .
Wat nu als de tussentijden gamma verdeeld zijn.??
We zeggen dat T een Gamma(a,p) verdeling heeft als de dichtheidsfunctie van T is: a(1/G(p))(at)^p-1 e^-at
Hierin is G(p) de zg Gamma functie (in hetbizonder, als p een heel getal dan G(p)= (p-1)! )
Belangrijke eigenschap van de gammaverdeling:
Als T1 Gamma(a,p) en T2 Gamma(a,q) dan is T1 +T2 Gamma(a,p+q) verdeeld.
In het bizonder Een Gamma(a,1) verdeling is gewoon een exponentiële verdeling zoals hierboven.
Daaruit volgt dat in een gewoon Poissonproces de aankomsttijd van de nde klant een Gamma(a,n) is.
Nu de vraag waar het om gaat:
Stel dat de tussenaankomsttijden Gamma(a,p) zijn verdeeld. Wat kunnen we dan zeggen van de kansverdeling van het aantal klantenX(t) aankomend in tijdsinterval (0,t) ?
Geval 1 p is een heel getal. Bv p=3 Practisch voorbeeld : klanten komen aan volgens gewoon Poissonproces, Y(t) in (0,t) met EY(t)=at. Taxis vertrekken als er precies 3 klanten zijn. Dan vertrekken de taxi's volgens een proces met tussentijden die Gamma(a,3) zijn. Voor het aantal X(t) taxi"s vertrekkend in (0,t) geldt dan : X(t)= n, precies dan als het aantal klanten aangekomen in (0,t) gelijk is aan 3n of 3n+1 of 3n +2, dus de kans dat X(t) = n is de som van 3 opvolgende Poissonkansen.
Geval 2 Wat kun je nog doen als p niet een heel getal ?
Als de tussentijden Gamma(a,p) zijn, dan is de ndeaankomsttijd Tn Gamma(a,np).
Voor het aantal arrivals X(t) in (0,t) geldt:
P(X(t)=n) = P(Tnt) - P(Tn+1t) (immers ,nklanten in (0,t) betekent dat de nde vóór t is aangekomen maar de n+1ste niet. Deze twee kansen kun je dan uitdrukken in de bekende verdelingsfuncties van Tn en Tn+1. Ik hoop dat je hiermee verder kunt. Veel succes.

JCS
5-3-2005