WisFaq!

Groepen

Hallo wisfaq,

Ik wil bekijken of de verzameling Mat₂(R) van alle reële 2 bij 2 matrices een groep vormt onder vermenigvuldiging.Volgens mij niet, want er wordt niet voldaan aan de derde groepsaxioma: de nulmatrix heeft geen inverse, dus niet alle matrices uit de verzameling hebben een inverse, dus deze verz is geen groep onder vermenigvuldiging.Is dit correct?
En klopt het dat natuurlijke optelling op Mat₂(R) een groepsstructuur geeft?Volgens mij wel: de nulmatrix is de identiteit, voor matrices geldt in het algemeen dat A+(B+C)=(A+B)+C en iedere matrix heeft een iverse.

Groeten,
Viky

viky
24-2-2005

Antwoord

Allebei juist... Al kan je wel de groepsstructuur voor de vermenigvuldiging redden door niet Mat₂ te bekijken, maar enkel die matrices die een determinant verschillend van nul hebben. Dan heb je de eigenschappen:
- intern (of 'gesloten'): product van twee zulke matrices is weer zo een matrix met det niet nul
- associatief: A(BC) = (AB)C
- neutraal element: de eenheidsmatrix
- symmetrisch (of invers) element: een matrix met det niet nul is inverteerbaar.

De eigenschap commutativiteit vervalt natuurlijk wel: in het algemeen geldt niet dat AB=BA. Dit is dus een groep, maar geen abelse groep.

Groeten,
Christophe.

Christophe
28-2-2005