WisFaq!

Harmonische vierstraal

We weten dat een rechte die door het dubbelpunt van een ontaarde kegelsnede gaat oneindig veel polen heeft. Ze vormt met de twee componenten c₁ en c₂ drie rechten van een vierstraal (c1,c2,d,d') waarvan de vierder rechte d' zo kan gekozen worden dat (c1c2dd')=-1 (dus harmonisch) Alle punten van d' zijn dan polen van d.

Nu is mijn vraag hoe ik zoiets kan construeren. Dus je hebt 2 rechten (componenten) die elkaar snijden in een punt= dubbelpunt. Door dit dubbelpunt trekken we een (willekeurige?) rechte maar hoe moet je dan de rechte d' tekenen zodat ze samen een harmonische vierstraal vormen?

Kan iemand me dit uitleggen hoe ik dit precies kan aanpakken aub?

Akvast bedankt!

Wendy
19-2-2005

Antwoord

Dag Wendy,

In onderstaande figuur zijn de lijnen c₁, c₂ en d getekend.

Deze 'driestraal' (met top T) wordt gesneden met een willekeurige lijn (een 'transversaal' van de bundel T).
Dat geeft de punten C₁, C₂, D.
We moeten nu op die transversaal bij die punten het punt D' construeren zo, dat
(C₁C₂DD') = -1
Wel, de (mijns inziens) eenvoudigste constructie daarvoor is:
- teken door C₂ een lijn evenwijdig met de lijn c₁;
- deze lijn snijdt de lijn d in het punt P;
- Q ligt zo op PC₂, dat |PC₂| = |QC₂|;
- de lijn OQ is dan de gezochte vierde straal.
Te bewijzen is nu (nog) dat op basis van deze constructie inderdaad geldt, dat (C₁C₂DD') = -1.

Voor dat bewijs zie eventueel onderstaande link.

Zie Stralenbundels [http://www.pandd.demon.nl/stralenb.htm#1]

dk
19-2-2005