WisFaq!

Viergroep van klein

Hallo wisfaq,

Zij G een groep van orde 4.Ik wil bewijzen dat G of cyclisch of de viergroep van Klein is.Ik heb zelf het volgende:
We weten nog niet wat het eenheidselement is, dus stel ab=e.En stel G is de viergroep van Klein.We vullen de volgende tabel in,
e a b c
e e a b c
a a c e b
b b e c a
c c b a e

1.Het eenheidelement is e, dus de eerste rij en kolom kunnen we zo invullen.
2.Tweede rij.
In elke rij en kolom mag een element maar één keer voorkomen.We hebben de volgende mogelijkheden voor aa en ac:aa=b en ac=c of aa=c en ac=b
Maar ac is ongelijk c want anders zou a gelijk moeten zijn aan e.Dus aa=c en ac=b.
3.Derde rij:
Vul in ba=e.Er geldt bb=c en bc=a.
Gebruik nu kolom 2,3 en 4 om de tabel af te maken.
Conclusie: dit is geen viergroep van Klein want de samenstelling van een niet-triviaal element met zichzelf levert niet de identiteit en het product van twee niet-triviale elementen levert niet altijd het derde niet-triviale element op.
Als G een cyclische groep van orde 4 is dat heeft elk element orde 4,
a^4=aaaa=aac=ab=e
b^4=bbbb=bbc=ba=e
c^4=cccc=ee=e
e^4=e
Dus G is cyclisch.
Is dit allemaal correct?

Vriendelijke groeten,
Viky

viky
14-2-2005

Antwoord

G heeft behalve het neutrale element e nog minstens 1 ander element: zeg a. De orde van a is een deler van de orde van G, dus 2 of 4.
Als a orde 4 heeft, dan is G cyclisch. Stel verder dat G niet cyclisch is.
Dan heeft a orde 2, en moeten er nog een derde en vierde element zijn, zeg b en c, beiden van orde 2.
Dan ab=c (want uit ab=e volgt ab=aa, dus a=b; uit ab=a volgt b=e, uit ab=b volgt a=e).
Evenzo ba=c, ac=b, ca=b, bc=a, cb=a.
Dus G is dan isomorf met de viergroep van Klein.

hr
14-2-2005