WisFaq!

Stelsel vergelijkingen

Hoe bepaal ik de oplossing (of een van de oplossingen) van het volgende stelsel:

3x1-2x2+5x3+x4=1
x1+x2-3x3+2x4=2
6x1+x2-4x3+3x4=7

Het oplossen van een stelsel waarin het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal onbekenden kan ik wel, maar het stelsel hierboven gaat me boven m'n pet.

Groeten

Jochem
10-2-2005

Antwoord

Indien er evenveel onbekenden zijn als vergelijkingen is er meestal (* = de vergelijkingen zijn lineair onafhankelijk) juist één oplossing.

Indien er meer vergelijkingen zijn dan onbekenden is er meestal (*) geen oplossing.

Indien er meer onbekenden zijn dan vergelijkingen zijn er - zoals hier - meestal verschillende oplossingen. Eén (of meerdere) onbekende(n) word(t)(en) dan nevenonbekende(n), d.w.z. mag (mogen) vrij gekozen worden.

We vinden deze oplossingen door de matrix van het stelsel rijcanoniek te maken.


wordt

Hieruit volgt dat
x₄ = 0
x₃ nemen we als nevenonbekende.
Dan :
x₁ = 1 + ¹/₅.x₃
en
x₂ = 1 + ¹⁴/₅.x₃

Kiezen we voor
x₃ = 5
Dan
x₁ = 2
x₂ = 15
x₄ = 0

Kiezen we voor
x₃ = -10
Dan
x₁ = -1
x₂ = -27
x₄ = 0

Voor iedere waarde van x₃ vinden we dus waarden voor x₁ en x₂.
x₄ is in dit stelsel steeds gelijk aan nul.

LL
11-2-2005