WisFaq!

Re: Berekenen van een bepaalde integraal (substitutie)

Beste,

dat was zeer zeker duidelijk! Bedankt voor uw degelijke uitleg!
Ik heb al een heel stel oefeningen correct kunnen oplossen daardoor.

Toch zit ik hier en daar nog met een vraagteken:

(1) [p/3 , p/6] òdx/sin2x
Ik dacht aan hervolgde: (-1/2)ln |sin2x| maar dan bekom ik als uitkomst = 0 ? Hoe moet ik dit aanpakken?
De juiste oplossing: (1/2)ln3

(2) [p,0] òxsinxcos⁴xdx we kregen als tip: stel x= p-u
Hier weet ik al helemaal niet hoe het verder moet. Zou u zo vriendelijk willen zijn me opnieuw verder te helpen aub?

Dank bij voorbaat

Vele groetjes

Veerle
8-2-2005

Antwoord

Hi,

Die eerste is nogal een klassieker, maar niet echt makkelijk te zien. Je kan hem met de t-formules doen als je die gezien hebt...
Of ook zo: bedenk dat sin(2x)=2sinxcosx.
òdx/(2sinxcosx)
= ò(cos²x+sin²x) / (2sinxcosx) dx (dat is de cruciale truc hier: je gebruikt de grondformule om de 1 te vervangen door cos²x + sin²x)
= 1/2 òcos²x / (sinxcosx) dx + 1/2 òsin²x / (sinxcosx) dx
= 1/2 òcosx / sinx dx + 1/2 òsinx / cosx dx
= 1/2 òd(sinx) / sinx - 1/2 òd(cosx) / cosx
= 1/2 ln(sinx) - 1/2 ln(cosx)
En als je dan je grenzen (correct) invult dan kom je inderdaad op (1/2)ln3 (je moet wel eerst nog wat rekenregels van logaritmen toepassen...)


Die tweede vraag: je zou gewoon domweg aan de integraal kunnen beginnen, partiele integratie toepassen en zo, en dan daarna je grenzen invullen, en dan kom je er wel. Echter, met die tip erbij kan het misschien sneller. Want wat gebeurt er als je x=p-u stelt:
x loopt van 0 tot p dus u loopt van p tot 0.
dx wordt -du
x wordt p-u
sinx wordt sinu en cosx wordt -cosu (goniometrische formules ivm supplement van een hoek)
Je krijgt zodoende de integraal:
ò (p-u) sinu cos⁴u d(-u) voor u van p tot 0
Omwisselen van de integratiegrenzen zorgt voor een minteken:
ò (p-u) sinu cos⁴u du voor u van 0 tot p
= ò p sinu cos⁴u du - ò u sinu cos⁴u du
Die eerste term gaat nu vrij eenvoudig met de substitutie t = sinu dus dt = cosu du. En die tweede term is gewoon de oorspronkelijke integraal...

Dus als je die integraal even 'I' noemt, dan staat er:
I = ò p sinu cos⁴u du - I
2I = ò p sinu cos⁴u du met grenzen: u van 0 tot p.

En dan moet je dus enkel nog die ene integraal uitrekenen met die substitutie die ik opgaf, en je bent er. Ik kwam uit op I = p/5.

Groeten

Christophe
8-2-2005