WisFaq!

Lichaamsuitbreidingen

Hallo wisfaq,

Beschouw de uitbreiding Q bevat in M=Q(i,sqrt2).(Q zijn de rationale getallen).De verzameling {1,i,sqrt2,isqrt2} een basis van M over Q.Het minimumpolynoom voor a=1+i+sqrt2 is a^4-4a^3+4a^2+8=0.Dus,
M=Q(i,sqrt2)=Q(a)=Q[x]/(x^4-4x^3+4x^2+8)
En {1,a,a^2,a^3} is een machtbasis van M over Q.
Zij b=(1/2)sqrt2+[(1/2)sqrt2]i.
Ik weet dat b voldoet aan b^4+1=0.Ik heb machten van b berekend en toen vond ik deze relatie.
Nu wil ik graag bewijzen dat Q(a)=Q(b).Ik weet dat het min polyn van b over Q gelijk is aan x^4+1, dus
Q(b)=Q[x]/(x^4+1).Volgens mij moet ik laten zien dat Q(a) en Q(b) dezelfde basis hebben.

Veel groeten,
Viky

viky
7-2-2005

Antwoord

Hallo Viky,

Om te bewijzen dat twee verzamelingen gelijk zijn, moet je bewijzen dat als een element in een verzameling zit, het ook in de andere zit. Je hebt hier nu twee verzamelingen, (a) en (b) waarvan je de basis kent, nl respectievelijk {1,a,a²,a³} en {1,b,b²,b³}. Als je dus kan aantonen dat je elk basiselement van (a) kan schrijven als lineaire combinatie (over ) van de basiselementen van (b), of omgekeerd, dan ben je er.

Nu hoef je zelfs dat niet te doen, want je hebt al correct aangetoond dat M=(a), dus het volstaat te bewijzen dat je elk element van {1,b,b²,b³} kan schrijven als lineaire combinatie van de basiselementen van M, zijnde {1,i,Ö2,iÖ2}.

En dat is eenvoudig natuurlijk, je zei dat je al machten van b had berekend:
1 = 1
b = Ö2/2 + iÖ2/2 (definitie van b)
b² = i
b³ = iÖ2/2 - Ö2/2

Niet dat het nodig is, maar uit deze gelijkheden kan je ook nog heel eenvoudig de omgekeerde formules halen, die dus de basis voor M uitdrukken als lineaire combinatie van de elementen van de basis voor (b):

1 = 1
i = b²
Ö2 = b - b³
iÖ2 = b + b³

Groeten,
Christophe.

Christophe
8-2-2005