WisFaq!

Wondermooie tuin van de meetkunde

Ik zit hier met een vraag waar ik niet zo goed aan uit geraak:
Construeer voor een gegeven DABC een punt DÎ[AB] en een punt E Î [AC] zó dat |BD|=|DE|=|EC|.
ik heb al geprobeerd met een gelijkbenige driehoek maar mag dat wel?

Jens
7-2-2005

Antwoord

Dag Jens,

Een prozaïsch onderwerp voor je vraag. Maar er staan inderdaad fraaie bloemen in die tuin. Jouw vraag is er zo eentje...
Natuurlijk mag je het voor een gelijkbenige driehoek proberen, maar de 'bloem' is veel mooier als je het voor een willekeurige driehoek doet!

In onderstaande Cabri-applet ligt het punt D willekeurig op AB. Het punt E is met behulp van een cirkel (om C) zo op AC geplaatst dat EC = BD.



- Verplaats nu het punt D over AB.
Het punt X ligt op het lijnstuk DE, echter DE is (vooralsnog) ongelijk aan BD. Maar we kunnen ze alledrie aan elkaar gelijk krijgen...
Duidelijk is dat er een positie is van het punt D waarbij X met E samenvalt.
De m.pl. (meetkundige plaats) van het punt X is echter niet zo gemakkelijk vast te stellen. Het is een 3e graads kromme...

Let nog maar even niet op het punt Q in de tekening.

Maar er is een punt Y construeerbaar dat WEL tot de oplossing van het probleem leidt.
- Verschuif nu de zwarte 'knop' help naar rechts.
Het punt Y is een snijpunt van de lijn door E evenwijdig met BC en cirkel (D, DB).
Nu is (met YF // AC): YF = EC
(F is niet getekend, maar ligt op BC!)

- Ga na dat in de gewenste positie van D ook Y samenvalt met E. Waarom?

En de baan (m.pl.) van het punt Y is een rechte lijn!

- Waarom gaat de m.pl. van Y door B?
- Schuif nu de rode 'knop' m.pl. naar rechts.

Kies nu bijvoorbeeld het midden van het lijnstuk AB als punt D en merk op dat Y dan samenvalt met Q.

Kijk aan, de gewenste positie van E is nu gemakkelijk te construeren (als het snijpunt van BQ met AC).
Eerst Q (of een ander punt van de m.pl.) construeren!
En dan lukt bijbehorende punt D ook wel, denk ik.

Ik laat het bewijs dat de m.pl. van het punt Y een rechte lijn is, aan jou!

N.B.
Er zijn driehoeken die geen oplossing toelaten.
Je kan dat nagaan met met behulp van de applet (verplaats bijvoorbeeld het punt A).

dk
7-2-2005